Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的圓分別交邊AC，BC于點D，E，若$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$+30°，則∠DEC的度數是（　　）

• A． 30°
• B． 40°
• C． 45°
• D． 50°

Answer 1

分析 作輔助線，設∠EOD=x°，根據弧的度數即為弧所對圓心角的度數，分別表示出∠AOD、∠BOE的度數，再根據直徑所對的圓周角為直角和等腰三角形的三線合一得：AE是角平分線，即圓周角相等，則所對的弧相等，圓心角相等；根據平角的定義列方程可求x的值，最后由四點共圓的性質和同圓的半徑相等求出結論．

解答 解：連接OE、OD、AE，
設∠EOD=x°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$+30°，
∴∠AOD=（x+30）°，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{ED}$，
∴∠BOE=x°，
則x+x+x+30=180，
x=50°，
∴∠AOD=30°+50°=80°，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO=$\frac{180°-80°}{2}$=50°，
∵A、B、E、D四點共圓，
∴∠DEC=∠BAC=50°，
故選D．

點評 本題考查了弦、弧及圓心角的關系，圓周角定理，以及等腰三角形的性質，其中作出輔助線是解本題的關鍵，在圓中常作的輔助線是連接半徑，同時注意弧的度數即為弧所對圓心角的度數．