Question

9．（1）設b=ma是否存在實數m，使得（a+2b）²+（2a+b）（2a-b）-4b（a+b）能化簡為-5a²，若能，請求出滿足條件的m值；若不能，請說明理由．
（2）若m²-m-1=0，n²-n-1=0，且m≠n，求m⁵+n⁵的值．

Answer 1

分析 （1）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把b=ma代入確定出m的值即可；
（2）原式變形后，將已知等式化簡后代入計算即可求出值．

解答 解：（1）原式=a²+4ab+4b²+4a²-b²-4ab-4b²=5a²-b²，
當b=ma時，5a²-b²=（5-m²）a²=-5a²，
∴5-m²=-5，即m²=10，
解得：m=±$\sqrt{10}$；
（2）由題知：m²=m+1，
∴m⁵=（m²）²•m=（m+1）²m=（m²+2m+1）m=（m+1+2m+1）m=3m²+2m=3（m+1）+2m=5m+3，
同理：n⁵=5n+3，
∴m⁵+n⁵=5（m+n）+6，
由m²-m-1=0，n²-n-1=0知：m²=m+1，n²=n+1，
∴m²-n²=m-n，即（m+n）（m-n）=m-n，
∵m≠n，∴m+n=1，
則m⁵+n⁵=5（m+n）+6=5+6=11．

點評 此題考查了整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．