Question

如圖，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等邊三角形，點A₁，A₂在函數y=的圖象上，點B₁，B₂在x軸的正半軸上，分別求△OA₁B₁，△B₁A₂B₂的面積．

Answer 1

【答案】分析：分別過A₁、A₂作x軸的垂線，垂足分別為D、E，設OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．根據等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到A₁D=OD=m，A₂E=B₁E=n，OE=2m+n，得到A₁的坐標為（m，m），A₂的坐標為（2m+n，n），然后先把A₁的坐標代入反比例解析式求得m的值，再把A₂的坐標代入反比例解析式得到n的值，這樣就確定兩等邊三角形的邊長，然后根據等邊三角形的面積等于其邊長的平方的倍計算即可．
解答：解：分別過A₁、A₂作x軸的垂線，垂足分別為D、E，如圖，
設OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等邊三角形，
∴∠OA₁D=∠B₁A₂E=30°，
∴A₁D=OD=m，A₂E=B₁E=n，OE=2m+n，
∴A₁的坐標為（m，m），A₂的坐標為（2m+n，n），
又∵點A₁在函數y=的圖象上，
∴m=，解得m=（m=-舍去），
∴OB₁=2m=，OE=+n．
∵點A₂在函數y=的圖象上，
∴n•（+n）=，解得n₁=，n₂=（舍去），
∴n=，
∴B₁B₂=2n=，
∴△OA₁B₁的面積=OB₁²=×（）²=，
△B₁A₂B₂的面積=B₁B₂²=×[]²=．
點評：本題考查了點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及等邊三角形的性質．