Question

如圖，△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等邊三角形，點A₁，A₂在函數y=

1

3 x

的圖象上，點B₁，B₂在x軸的正半軸上，分別求△OA₁B₁，△B₁A₂B₂的面積．

Answer 1

分析：分別過A₁、A₂作x軸的垂線，垂足分別為D、E，設OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．根據等邊三角形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系得到A₁D=

3

OD=

3

m，A₂E=

3

B₁E=

3

n，OE=2m+n，得到A₁的坐標為（m，

3

m），A₂的坐標為（2m+n，

3

n），然后先把A₁的坐標代入反比例解析式求得m的值，再把A₂的坐標代入反比例解析式得到n的值，這樣就確定兩等邊三角形的邊長，然后根據等邊三角形的面積等于其邊長的平方的

3

4

倍計算即可．

解答：解：分別過A₁、A₂作x軸的垂線，垂足分別為D、E，如圖，
設OD=m，B₁E=n（m＞0，n＞0）．
∵△OA₁B₁，△B₁A₂B₂是等邊三角形，
∴∠OA₁D=∠B₁A₂E=30°，
∴A₁D=

3

OD=

3

m，A₂E=

3

B₁E=

3

n，OE=2m+n，
∴A₁的坐標為（m，

3

m），A₂的坐標為（2m+n，

3

n），
又∵點A₁在函數y=

1

3 x

的圖象上，
∴

3

m=

1

3 m

，解得m=

3

3

（m=-

3

3

舍去），
∴OB₁=2m=

2 3

3

，OE=

2 3

3

+n．
∵點A₂在函數y=

1

3 x

的圖象上，
∴

3

n•（

2 3

3

+n）=

1

3

，解得n₁=

- 3 + 6

3

，n₂=

- 3 - 6

3

（舍去），
∴n=

- 3 + 6

3

，
∴B₁B₂=2n=

2( 6 - 3 )

3

，
∴△OA₁B₁的面積=

3

4

OB₁²=

3

4

×（

2 3

3

）²=

3

3

，
△B₁A₂B₂的面積=

3

4

B₁B₂²=

3

4

×[

2( 6 - 3 )

3

]²=

3 3 -2 6

3

．

點評：本題考查了點在反比例函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系以及等邊三角形的性質．