Question

如圖，BE、CD是△ABC的高，連DE．
（1）求證：AE•AC=AB•AD；
（2）若∠BAC=120゜，點M為BC的中點，求證：DE=DM．

Answer 1

分析：（1）由BE、CD是△ABC的高得∠AEB=∠ADC=90°，加上∠EAB=∠DAC，根據相似三角形的判定方法得到△AEB∽△ADC，則AB：AC=AE：AD，利用比例性質即可得到結論；
（2）連結ME，由∠BAC=120゜得到∠BAE=60°，則∠EBA=30°，由點M為BC的中點，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到MB=ME=MD=MC，于是可判斷點B、E、D、C在以M點為圓心，MD為半徑的圓上，根據圓周角定理得∠DME=2∠EBD=60°，則可判斷△MED為等邊三角形，所以DE=DM．

解答：證明：（1）∵BE、CD是△ABC的高，
∴∠AEB=∠ADC=90°，
而∠EAB=∠DAC，
∴△AEB∽△ADC，
∴AB：AC=AE：AD，
∴AE•AC=AB•AD；

（2）連結ME，如圖，
∵∠BAC=120゜，
∴∠BAE=60°，
∴∠EBA=30°，
∵點M為BC的中點，
∴MB=ME=MD=MC，
∴點B、E、D、C在以M點為圓心，MD為半徑的圓上，
∴∠DME=2∠EBD=2×30°=60°，
∴△MED為等邊三角形，
∴DE=DM．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質：有兩組對應角相等的兩個三角形相似；相似三角形對應邊的比等于相等，都等于相似比．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質以及圓周角定理．