Question

如圖，BE，CD是△ABC的邊AC，AB上的中線，且相交于點F．
求：（1）

DF

FC

的值；（2）

S△ADE

S△BFC

的值．

Answer 1

分析：（1）連接DE，則DE為△ABC的中位線，根據中位線定理，三角形相似求解；
（2）由三角形相似的性質得S△ADE=

1

4

S△ABC，又由相似比可知S_△BFC=

2

3

S_△BDC=

1

3

S_△ABC，再求

S△ADE

S△BFC

的值．

解答：解：（1）∵BE，CD是△ABC的邊AC，AB上的中線，
∴F是△ABC的重心（2分）
∴

DF

FC

=

1

2

（2分）

（2）連接DE、AF并延長AF交BC于G．
過A和F分別作BC的垂線，垂足H，K．（1分）
∵D，E是AB，AC邊上的中點DE

∥ .

.

1

2

BC
∴△ADE∽△ABC（2分）
∴

S△ADE

S△BAC

=(

DE

BC

)2=

1

4

，
∴S△ADE=

1

4

S△ABC，（1分）
∠FKB=∠AHB=90°，
∴FK∥AH，
∴△GKF∽△GHA

FK

AH

=

GF

GA

=

1

3

，（2分）
∴

S△BFC

S△BAC

=

1 2 BC•FK

1 2 BC•AH

=

1

3

S△BFC=

1

3

S△ABC，（1分）

S△ADE

S△BFC

=

3

4

．（1分）

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，三角形的重心性質．關鍵是由中位線定理得出相似比．