Question

如圖在銳角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12兩動(dòng)點(diǎn)M、N分別在AB、AC上滑動(dòng)，且MN∥BC，以MN為邊長(zhǎng)向下作正方形MPQN，設(shè)MN=x，正方形MPQN與△ABC公共部分的面積為y
（1）求出△ABC的邊BC上的高．
（2）如圖，當(dāng)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上時(shí)，求x的值．

（3）如圖，當(dāng)PQ落△ABC外部時(shí)，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的面積公式，三角形的面積=

1

2

×底×高計(jì)算即可；
（2）根據(jù)△AMN與△ABC相似，相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比列式計(jì)算；
（3）設(shè)正方形在△ABC內(nèi)的邊長(zhǎng)為a，也就是△ABC的高在正方形內(nèi)的長(zhǎng)度，然后利用同（2）的運(yùn)算，計(jì)算出a的長(zhǎng)度，再利用矩形的面積公式進(jìn)行解答．

解答：解：（1）∵S_△ABC=12，
∴

1

2

BC•AD=12，又BC=6，
∴AD=4；

（2）設(shè)AD與MN相交于點(diǎn)H，
∵M(jìn)N∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴

AH

AD

=

MN

BC

，
即

4-x

4

=

x

6

，
解得，x=

12

5

，
∴當(dāng)x=

12

5

時(shí)正方形MPQN的邊P恰好落在BC邊上；

（3）設(shè)MP、NQ分別與BC相交于點(diǎn)E、F，
設(shè)HD=a，則AH=4-a，
由

AH

AD

=

MN

BC

，
得

4-a

4

=

x

6

，
解得，a=-

2

3

x+4，
∵矩形MEFN的面積=MN×HD，
∴y=x（-

2

3

x+4）=-

2

3

x2+4x（2.4＜x≤6）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于對(duì)應(yīng)邊的比的性質(zhì)，正方形的四條邊都相等的性質(zhì)，讀懂題意，列出比例式是解題的關(guān)鍵，難度中等．