Question

如圖,在銳角△ABC中,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,AD、CE相交于F, BF的中點為P,AC的中點為Q,連接PQ、DE.

    (1)求證:直線PQ是線段DE的垂直平分線;

(2)如果△ABC是鈍角三角形,∠BAC>90°,那么上述結論是否成立? 請按鈍角三角形改寫原題,畫出相應的圖形,并給予必要的說明.

Answer 1

證明(1)連接PD、PE、QD、QE.

    因為 CE⊥AB,P是BF的中點,

    所以 △BEF是直角三角形,且

    PE是Rt△BEF斜邊的中線,

    所以 PE=BF.

    又因為 AD⊥BC,

    所以 △BDF是直角三角形,且PD是Rt△BDF斜邊的中線,

    所以 PD=BF=PE,

    所以 點P在線段DE的垂直平分線上.

    同理可證,QD、QE分別是Rt△ADC和Rt△AEC斜邊上的中線,

    所以 QD=AC=QE,

    所以 點Q也在線段DE的垂直平分線上.

    所以 直線PQ垂直平分線段DE.

    (2)當△ABC為鈍角三角形時,(1)中的結論仍成立.

    如右圖,△ABC是鈍角三角形,∠BAC>90°.

    原題改寫為:如右圖,在鈍角△ABC中,AD、CE分別是BC、AB邊上的高,DA 與CE的延長線交于點F,BF的中點為P,AC的中點為Q,連接PQ、DE.

    求證:直線PQ垂直且平分線段DE.

    證明  連接PD,PE,QD,QE,則PD、PE分別是Rt△BDF和Rt△BEF的中線,

    所以 PD=BF, PE=BF,

    所以 PD=PE,

    點P在線段DE的垂直平分線上.

    同理可證  QD=QE,

    所以 點Q在線段DE的垂直平分線上.

    所以 直線PQ垂直平分線段DE.