Question

如圖，在半徑為2的扇形AOB中，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點（不與點A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分別為D、E．
（1）當BC=1時，求線段OD的長；
（2）在△DOE中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理由；
（3）設BD=x，△DOE的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出它的定義域．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的長；
（2）連接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據D和E是中點可得出DE=；
（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，過D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出結論．
解答：解：（1）如圖（1），∵OD⊥BC，
∴BD=BC=，
∴OD==；


（2）如圖（2），存在，DE是不變的．
連接AB，則AB==2，
∵D和E分別是線段BC和AC的中點，
∴DE=AB=；

（3）如圖（3），連接OC，
∵BD=x，
∴OD=，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠2+∠3=45°，
過D作DF⊥OE．
∴DF==，
∴在Rt△DEF中，EF==，
∴OE=OF+EF=+=
由（2）已知DE=，
∴y=DF•OE=••
=，（0＜x＜）．
點評：本題考查的是垂徑定理、勾股定理、三角形的性質，綜合性較強，難度中等．