Question

有一批圓心角為90°，半徑為1的扇形狀下腳料，現利用這批材料截取盡可能大的正方形材料，如圖有兩種截取方法：方法1，如圖（1）所示，正方形OPQR的頂點P、Q、R均在扇形邊界上；方法2，如圖（2）所示，正方形頂點C、D、E、F均在扇形邊界上．圖（1）、圖（2）均為軸對稱圖形．試分別求這兩種截取方法得到的正方形面積．并說明哪種截取方法得到的正方形面積更大？

Answer 1

解：如圖1所示：
連接OQ，設正方形OPQR的邊長為x，
則在Rt△OPQ中，
OQ²=OP²+PQ²，即1²=x²+x²，
解得x=，
∴S_{四邊形OPQR}=；

如圖2所示，
過O作OG⊥EF，交CD于點H，連接OF，
設FG=x，
∵四邊形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴FG=CH=x，
∵∠DOC=90°，H為CD中點，
∴CH=OH，
∴OG=OH+HG=HC+CF=x+2x=3x，
在Rt△OFG中，
OF²=GF²+OG²，即1²=x²+（3x）²，
解得x=，
∴CF=2x=．
∴S_{四邊形CDEF}=，
∵＞，
∴第一種方法截取的正方形的面積最大．
分析：根據題意畫出圖形，分別連接PQ和過O作OG⊥DE，交CF于點H，連接OF，構造直角三角形求得正方形的邊長，求得正方形的面積后比較即可．由于正方形內接于扇形，故應分兩種情況進行討論．
點評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線，構造出直角三角形，再進行解答．