Question

14．如圖，已知△ABC中，AB=AC=12cm，BC=9cm，點D為AB的中點．

（1）如果點P在線段BC上以3cm/s的速度由點B向點C運動，同時點Q在線段CA上由點C向點A運動．
①若點P的運動速度與點Q的運動速度相等，1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由？
②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點Q以（1）②中的運動速度從點C出發，點P以原來的運動速度從點B同時出發，都逆時針沿△ABC的三邊運動，直接寫出經過多長時間點P與點Q第一次相遇．

Answer 1

分析 （1）①先求得BP=CQ=3，PC=BD=6，然后根據等邊對等角求得∠B=∠C，最后根據SAS即可證明；
②因為V_P≠V_Q，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD與△CQP全等，只能BP=CP=4.5，根據全等得出CQ=BD=6，然后根據運動速度求得運動時間，根據時間和CQ的長即可求得Q的運動速度；
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，據此列出方程，解這個方程即可求得．

解答 解：（1）①1秒鐘時，△BPD與△CQP是否全等；理由如下：
∵t=1秒，
∴BP=CQ=3（cm）
∵AB=12cm，D為AB中點，
∴BD=6cm，
又∵PC=BC-BP=9-3=6（cm），
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD與△CQP中，$\left\{\begin{array}{l}{BP=CQ}&{\;}\\{∠B=∠C}&{\;}\\{BD=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②∵V_P≠V_Q，
∴BP≠CQ，
又∵∠B=∠C，
要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，
∵△BPD≌△CPQ，
∴CQ=BD=6．
∴點P的運動時間t=$\frac{BP}{3}$=$\frac{4.5}{3}$=1.5（秒），
此時V_Q=$\frac{CQ}{t}$=$\frac{6}{1.5}$=4（cm/s）．
（2）因為V_Q＞V_P，只能是點Q追上點P，即點Q比點P多走AB+AC的路程，
設經過x秒后P與Q第一次相遇，
依題意得：4x=3x+2×12，
解得：x=24（秒）
此時P運動了24×3=72（cm）
又∵△ABC的周長為33cm，72=33×2+6，
∴點P、Q在BC邊上相遇，即經過了24秒，點P與點Q第一次在BC邊上相遇．

點評 本題是三角形綜合題目，考查了三角形全等的判定和性質，等腰三角形的性質，以及數形結合思想的運用；熟練掌握三角形全等的判定和性質是解決問題的關鍵．