Question

如圖，⊙C經過原點且與兩坐標軸分別交于點A和點B，點A的坐標為（0，2），點B的坐標為（，0），解答下列各題：
（1）求線段AB的長；
（2）求⊙C的半徑及圓心C的坐標；
（3）在⊙C上是否存在一點P，使得△POB是等腰三角形？若存在，請求出∠BOP的度數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A、B的坐標，即可求得OA、OB的長，進而可根據勾股定理求出AB的長；
（2）由于∠AOB=90°，由圓周角定理知AB即為⊙C的直徑，根據AB的長即可求得⊙C的半徑；若過C作y軸的垂線，根據三角形中位線定理，很明顯的可以看出C點橫坐標是B點橫坐標的一半，C點縱坐標是A點縱坐標的一半，由此得解；
（3）由圖知：若△POB是等腰三角形，則P點一定是OB垂直平分線與⊙C的交點，可據此求出P點的坐標及∠BOP的度數．
解答：解：（1）∵A（0，2），B（2，0）
∴OA=2，OB=2；
Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4；

（2）∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙C的直徑；
∴⊙C的半徑r=2；
過C作CE⊥y軸于E，則CE∥OB；
∵C是AB的中點，
∴CE是△AOB的中位線，
則OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）；
故⊙C的半徑為2，C（，1）；

（3）作OB的垂直平分線，交⊙C于M、N，交OB于D；
如圖；連接OC；
由垂徑定理知：MN必過點C，即MN是⊙C的直徑；
∴M（，3），N（，-1）；
在Rt△OMD中，MD=3，OD=，
∴∠BOM=60°；
∵MN是直徑，
∴∠MON=90°，∠BON=30°；
由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，因此M、N均符合P點的要求；
故存在符合條件的P點：P₁（，3），∠BOP₁=60°；
P₂（，-1），∠BOP₂=30°．
點評：此題主要考查了圓周角定理、垂徑定理、等腰三角形的判定、勾股定理的應用以及直角三角形的性質等知識，涉及知識點較多，難度適中．