Question

11．已知點(diǎn)A，B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是a，b，其中a，b滿足|a-2|+（b+1）²=0．
（1）求線段AB的長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程x-1=$\frac{1}{3}$x+1的解，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PB=PC，若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，說明理由；
（3）在（1）和（2）的條件下，點(diǎn)A，B，C同時(shí)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和9個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試探究：隨著時(shí)間t的變化，AB與BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出相應(yīng)的等式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對(duì)值及完全平方的非負(fù)性，可得出a、b的值，繼而可得出線段AB的長(zhǎng)；
（2）先求出x的值，再由PA+PB=PC，可得出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）根據(jù)A，B，C的運(yùn)動(dòng)情況確定AB，BC的變化情況，再根據(jù)t的取值范圍即可求出AB與BC滿足的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）∵|a-2|+（b+1）²=0，
∴a=2，b=-1，
∴線段AB的長(zhǎng)為：2-（-1）=3；

（2）解方程x-1=$\frac{1}{3}$x+1，得x=3，
則點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為3．

由圖知，滿足PA+PB=PC時(shí)，點(diǎn)P不可能在C點(diǎn)右側(cè)，不可能在線段AC上，
①如果點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，
2-x+（-1）-x=3-x，
解得：x=-2；
③當(dāng)P在A、B之間時(shí)，3-x=3，
 解得：x=0．
故所求點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2或0；

（3）t秒鐘后，A點(diǎn)位置為：2-t，
B點(diǎn)的位置為：-1+4t，
C點(diǎn)的位置為：3+9t，
BC=3+9t-（-1+4t）=4+5t，
AB=|-1+4t-2+t|=|5t-3|，
當(dāng)t≤$\frac{3}{5}$時(shí)，AB+BC=3-5t+4+5t=7；
當(dāng)t＞$\frac{3}{5}$時(shí)，BC-AB=4+5t-（5t-3）=7．
所以當(dāng)t≤$\frac{3}{5}$時(shí)，AB+BC=7；當(dāng)t＞$\frac{3}{5}$時(shí)，BC-AB=7．

點(diǎn)評(píng) 此題考查一元一次方程的實(shí)際運(yùn)用，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，正確理解AB，BC的變化情況是關(guān)鍵．