Question

2．如圖，在平面直角坐標系中，半徑為$\sqrt{5}$的⊙O與x正半軸交于點C，與y軸交于點D、E，直線y=-x+b（b為常數）交坐標軸于A、B兩點．
（1）如圖1，若直線AB與$\widehat{CD}$有兩個交點F、G，求∠CFE的度數，并直接寫出b的取值范圍；
（2）如圖2，若b=4，點P為直線AB上移動，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別M，N，若∠MPN=90°，求點P的坐標；
（3）點P為直線AB上一點，過P點作⊙O的兩條切線，切點分別M、N，若存在點P，使得∠MPN=60°，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據圓周角定理，可得∠CFE的度數，根據相切的性質，可得相交時b的最大值、最小值；
（2）根據直線上的點滿足函數解析式，可得P點坐標，根據正方形的判定與性質，可得OP、CN，PN的關系，根據勾股定理，可得關于m的方程，根據解方程，可得m的值，再根據自變量與函數值的對應關系，可得P點坐標；
（3）根據切線的性質，可得∠OPN的度數，根據直角三角形的性質，可得OP的長，根據勾股定理，可得關于m的一元二次方程，根據根的判別式，可得答案．

解答 解：（1）由∠CFE所對的弧是$\widehat{CD}$，
$\widehat{CD}$所對的圓心角是∠COE=90°，
∠CFE=$\frac{1}{2}$∠COE=45°；
當直線與圓相切時，直線與⊙O只有一個交點，
b=$\sqrt{2}$×$\sqrt{5}$=$\sqrt{10}$，
若直線AB與$\widehat{CD}$有兩個交點F、G，b的取值范圍-$\sqrt{10}$＜b＜$\sqrt{10}$；
（2）如圖1：，
AB的解析式為y=-x+4，由P在直線AB上，設P點坐標為（m，-m+4），
由∠MPN=90°，得四邊形OMPN是正方形，OP²=ON²+PN²=10，
即m²+（-m+4）²=10，解得m=1或m=3，
當m=1時，-m+4=3即P（1，3），當m=3時，-m+4=1，即P（3，1）；
綜上所述：點P的坐標（1，3），（3，1）；
（3）如圖2：，
由P在直線AB上，設P點坐標為（m，-m+b），
連接OP，由∠MPN=60°，得∠OPN=30．
由直角三角形30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，得OP=2ON=2$\sqrt{5}$，
由勾股定理得m²+（-m+b）²=（2$\sqrt{5}$）²，
化簡，得2m²-2mb+b²-20=0．
△=（-2b）²-4×2×（b²-20）≥0，
解得-2$\sqrt{10}$≤b≤2$\sqrt{10}$．
故b的取值范圍-2$\sqrt{10}$≤b≤2．

點評 本題考查了圓的綜合題，利用圓周角定理是解題關鍵；利用正方的性質得出關于m的方程是解題關鍵；利用直角三角形的性質得出關于m的一元二次方程是解題關鍵，又利用了根的判別式．