Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y =ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．點P、Q分別是AB、BC上的動點，當點P從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動.設P、Q同時運動的時間為t秒（0<t<2).

（1）求拋物線的表達式；

（2）設△PBQ的面積為S ，當t為何值時，△PBQ的面積最大，最大面積是多少？

（3）當t為何值時，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2x3；（2）當t=1時，S△PBQ最大=.；（3）當t的值是秒或秒或秒時,△CPQ為等腰三角形.

【解析】（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數關系式S△PBQ=-（t-1）2+．利用二次函數的圖象性質進行解答；

（3）分為三種情況：①當PB=BQ，②當PQ=BQ，③當PQ=PB進行討論,

(1)把點A(2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx3(a≠0)，得

解得a=，b=

所以該拋物線的表達式式為：y=x2x3

(2)由題意可知：AP=3t，BQ=t.

∴PB=63t.

由題意得,點C的坐標為(0,3).

在Rt△BOC中,BC=.

如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H.

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC

∴,即

∴HQ=t.

∴S△PBQ=PBHQ= (63t) t=t2+

t= (t1)2+.

∴當t=1時，S△PBQ最大=. （）

答：運動1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是；

（3）分為三種情況：①當PB=BQ時，即63t=t，解得t=

當t=秒，△BPQ是等腰三角形。

②當PQ=BQ時，

∵QH⊥PB，

∴PH=BH=(63t)=3t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴當t=秒時，△BPQ是等腰三角形，

③當PQ=PB時,如圖，過P點作PD⊥BC

∵PD⊥BC，

∴BD=QD=BQ=t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴當t=秒時，△CPQ是等腰三角形，

即當△CPQ為等腰三角形時,t的值是秒或秒或秒.