Question

3．觀察下列各式：
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
…
（1）猜想$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$；
（2）根據上面的規律，解答下列問題：
①（$\frac{1}{100}$-1）×（$\frac{1}{99}$-1）×（$\frac{1}{98}$-1）×…×（$\frac{1}{4}$-1）×（$\frac{1}{3}$-1）×（$\frac{1}{2}$-1）
②將2016減去它的$\frac{1}{2}$，再減去余下的$\frac{1}{3}$，再減去余下的$\frac{1}{4}$，再減去余下的$\frac{1}{5}$，以此類推，直到最后減去余下的$\frac{1}{2016}$，最后結果是多少？

Answer 1

分析 （1）根據所給各式發現規律，結果的分子為第1個分數的分子，分母為最后1個分數的分母；
（2）原式括號中變形計算后，約分即可得到結果；
（3）根據題意列出算式，計算即可得到結果．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$
$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{1}{5}$
…
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}$×$\frac{3}{4}$×…×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{1}{n+1}$
故答案為：$\frac{1}{n+1}$；

（2）①原式=-$\frac{99}{100}$×（$-\frac{98}{99}$）×（-$\frac{97}{98}$）×…×（-$\frac{2}{3}$）×（-$\frac{1}{2}$）
=-$\frac{1}{100}$；                                 
②由題意得，2016×（1-$\frac{1}{2}$）×（1-$\frac{1}{3}$）×…×（1-$\frac{1}{2016}$）=2016×$\frac{1}{2016}$
=1．

點評 此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．