Question

20．某中學為落實市上提出的“創建森林城市”會議精神，使本市成為依山傍水，城在林中，林在城中的城市．因此，該校購買了一批花卉，決心打造“花香校園”已知君子蘭6元/盆，郁金香10元/盆，若一次性購買郁金香超過20盆時，超過20盆部分的郁金香價格打8折，設君子蘭的所花費用為y₁（元），郁金香所花費用為y₂（元），各自購買的數量均為x（x＞20）（盆）．
（1）請分別寫出購買兩種花卉的所花費用y₁和y₂與購買數量x（盆）的函數關系式；
（2）為了營造氣氛，同時，還要考慮學校的資金情況，學校準備兩種花卉共90盆，其中君子蘭數量不超過郁金香數量的一半，兩種花卉各買多少盆時，總費用最少，最少費用是多少元？

Answer 1

分析 （1）首先根據總價=單價×數量，求出太陽花的付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式；然后分兩種情況：①一次購買的繡球花不超過20盆；②一次購買的繡球花超過20盆；根據總價=單價×數量，求出繡球花的付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式即可．
（2）首先太陽花數量不超過繡球花數量的一半，可得太陽花數量不超過兩種花數量的$\frac{1}{3}$，即太陽花數量不超過30盆，所以繡球花的數量不少于60盆；然后設太陽花的數量是x盆，則繡球花的數量是90-x盆，根據總價=單價×數量，求出購買兩種花的總費用是多少，進而判斷出兩種花卉各買多少盆時，總費用最少，最少費用是多少元即可．

解答 解：（1）太陽花的付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式是：y=6x；
①一次購買的繡球花不超過20盆時，
付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式是：y=10x（x≤20）；
②一次購買的繡球花超過20盆時，
付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式是：
y=10×20+10×0.8×（x-20）
=200+8x-160
=8x+40
綜上，可得
繡球花的付款金額y（元）關于購買量x（盆）的函數解析式是：
y=$\left\{\begin{array}{l}{10x，（x≤20）}\\{8x+40，（x＞20）}\end{array}\right.$

（2）根據題意，可得太陽花數量不超過：90×$\frac{1}{3}$，
所以繡球花的數量不少于：90-30=60（盆），
設太陽花的數量是x盆，則繡球花的數量是90-x盆，購買兩種花的總費用是y元，
則x≤30，
則y=6x+[8（90-x）+40]
=6x+[760-8x]
=760-2x
因為x≤30，
所以當x=30時，
y_min=760-2×30=700（元），
即太陽花30盆，繡球花60盆時，總費用最少，最少費用是700元．
答：太陽花30盆，繡球花60盆時，總費用最少，最少費用是700元．

點評 （1）此題主要考查了一次函數解析式的求法，以及一次函數的最值的求法，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：分段函數是在不同區間有不同對應方式的函數，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學合理，又要符合實際．
（2）此題還考查了單價、總價、數量的關系：總價=單價×數量，單價=總價÷數量，數量=總價÷單價，要熟練掌握．