Question

【題目】（8分）如圖，AC是ABCD的一條對角線，過AC中點O的直線分別交AD，BC于點E，F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）當EF與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）參見解析；（2）EF⊥AC時，四邊形AFCE是菱形．

【解析】

試題（1）由平行四邊形的性質得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用對頂角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中點，OA=OC，所以由ASA即可得出結論；（2）此題應用菱形的判定，先說明四邊形AFCE已經是平行四邊形，再應用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出對應邊相等AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對角線EF⊥AC，即可得出四邊形AFCE是菱形．

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵O是CA的中點，∴OA=OC，又∵∠AOE=∠COF（對頂角相等），∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）∵△AOE≌△COF，∴AE=CF，∵AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），當EF⊥AC時四邊形AFCE是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形），∴EF⊥AC時，四邊形AFCE是菱形．