Question

如果直角三角形的兩條直角邊都是整數，且是方程mx²-2x-m+1=0的根（m為整數），這樣的直角三角形是否存在？若存在，求出滿足條件的所有三角形的三邊長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先用求根公式求出方程的根，再根據m為整數，方程的兩根為直角三角形的兩條直角邊且都是整數進行討論，當m=1時，x=2或0，這樣的直角三角形不存在；假設存在不為0或1的整數m，使得方程有整數根，
則m²-m+1=k²（k為整數），再判斷出m²-m+1不是整數的平方即可得出結論．

解答：解：因為x=

1± m2-m+1

m

，
當m=1時，x=2或0，這樣的直角三角形不存在，
假設存在不為0或1的整數m，使得方程有整數根，
則m²-m+1=k²（k為整數），即m²-m=k²-1，必有m（m-1）=（k+1）（k-1），
而m（m-1）是兩個連續不為0的整數的乘積，但是（k-1）和（k+1）、1和（k²-1）都不是連續整數，
故m≠0且m≠1時，m²-m+1不是整數的平方，
綜上所述，滿足條件的直角三角形不存在．

點評：本題考查的是一元二次方程的整數根與有理根，解答此題時要先求出方程根的表達式，再由已知條件討論m的值，此題難度較大．