Question

如圖，點E在x軸正半軸上，以點E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點C，直線AB與⊙E相切于點D，已知點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4）．
（1）求線段AD的長；
（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？
（3）在⊙E上是否存在一點P，使得以點P、O、C為頂點的三角形相似于△BOE？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求線段AD的長，連接DE，由切線性質知OB=DB=4，AD=AB-BD，需要求出AB，可以根據勾股定理求出；
（2）連接BE、CD，要證明BE與CD平行可以通過平行線的判定，根據切線的性質，得出∠ADC=∠ABE即可；
（3）根據相似三角形的判定結合其性質易求OP的長，從而確定P的坐標．

解答：解：（1）連接DE，∵A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵以點E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點C，直線AB與⊙E相切于點D，
∴OB=DB=4，
∴AD=5-4=1；

（2）平行；連接BE、CD、OD，
∵直線AB與⊙E相切于點D，
∴∠ADC=∠AOD，
∵OB⊙E于點O，
∴OB=BD，∠OBE=∠DBE，
∴BE⊥OD，
∴∠OBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠COD=90°，
∴∠OBE=∠COD，
∴∠ADC=∠DBE，
∴BE與CD平行；

（3）存在，P₁(

12

5

，

4

5

)，P₂(

12

5

，-

4

5

)，P₃(

4

15

，

4

5

)，P₄(

4

15

，-

4

5

)．

點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．同時考查了相似三角形的性質和平行線的判斷．