Question

如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點(diǎn)P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點(diǎn)P為四邊形ABCD的一個(gè)半等角點(diǎn)．
【小題1】在圖（3）正方形ABCD內(nèi)畫(huà)一個(gè)半等角點(diǎn)P，且滿足α≠β；
【小題2】在圖（4）四邊形ABCD中畫(huà)出一個(gè)半等角點(diǎn)P，保留畫(huà)圖痕跡（不需寫(xiě)出畫(huà)法）；
【小題3】若四邊形ABCD有兩個(gè)半等角點(diǎn)P₁、P₂（如圖（2）），證明線段P₁P₂上任一點(diǎn)也是它的半等角點(diǎn)．

Answer 1

【小題1】所畫(huà)的點(diǎn)P在AC上且不是AC的中點(diǎn)和AC的端點(diǎn)．（2分）
【小題2】畫(huà)點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B’，延長(zhǎng)DB’交AC于點(diǎn)P，點(diǎn)P為所求（不寫(xiě)文字說(shuō)明不扣分）．（3分）
【小題3】連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據(jù)題意，

∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，
∠DP₂P₁=∠BP₂P₁，∠DP₁P₂=∠BP₁P₂，P₁P₂公共，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂．
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D關(guān)于AC對(duì)稱．
設(shè)P是P₁P₂上任一點(diǎn)，連接PD、PB，由對(duì)稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以點(diǎn)P是四邊形的半等角點(diǎn)．（5分）

解析