Question

23、如圖（1），凸四邊形ABCD，如果點P滿足∠APD=∠APB=α．且∠BPC=∠CPD=β，則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點．
（1）在圖（3）正方形ABCD內畫一個半等角點P，且滿足α≠β；
（2）在圖（4）四邊形ABCD中畫出一個半等角點P，保留畫圖痕跡（不需寫出畫法）；
（3）若四邊形ABCD有兩個半等角點P₁、P₂（如圖（2）），證明線段P₁P₂上任一點也是它的半等角點．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知，所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點．因為在圖形內部，所以不能是AC的端點，又由于α≠β，所以不是AC的中點．
（2）畫點B關于AC的對稱點B’，延長DB’交AC于點P，點P為所求．（因為對稱的兩個圖形完全重合）
（3）先連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據題意∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．∴P₁在AC上，同理，P₂也在AC上，再利用ASA證明△DP₁P₂≌△BP₁P₂而，那么△P₁DP₂和△P₁BP₂關于P₁P₂對稱，P是對稱軸上的點，所以∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC．即點P是四邊形的半等角點．

解答：解：（1）所畫的點P在AC上且不是AC的中點和AC的端點，即給（4分）．

（2）畫點B關于AC的對稱點B’，延長DB’交AC于點P，點P為所求（不寫文字說明不扣分）給（3分）．
（說明：畫出的點P大約是四邊形ABCD的半等角點，而無對稱的畫圖痕跡，給1分）

（3）連P₁A、P₁D、P₁B、P₁C和P₂D、P₂B，根據題意，
∠AP₁D=∠AP₁B，∠DP₁C=∠BP₁C，
∴∠AP₁B+∠BP₁C=180度．
∴P₁在AC上，
同理，P₂也在AC上．（9分）
在△DP₁P₂和△BP₁P₂中，
∠DP₂P₁=∠BP₂P₁，∠DP₁P₂=∠BP₁P₂，P₁P₂公共，
∴△DP₁P₂≌△BP₁P₂．（11分）
所以DP₁=BP₁，DP₂=BP₂，于是B、D關于AC對稱．
設P是P₁P₂上任一點，連接PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC，
所以點P是四邊形的半等角點．（14分）

點評：通過閱讀理解半等角點的概念，再綜合運用知識解決問題，本題屬于閱讀理解題，對知識與能力要求較高．
命題立意：本題考查學生理解知識和綜合運用知識的能力．