Question

如圖所示，在凸四邊形ABCD中，∠ABD＞∠CBD，∠ADB＞∠CDB．求證：AB+AD＞BC+CD．

Answer 1

分析：如圖，過頂點B作∠EBD=∠CBD，BE=BC，連接ED，延長BE交AD于點F．構造全等三角形：△BCD≌△BED（SAS），則對應邊ED=CD，故根據三角形三邊關系得到：AB+AD=AB+AF+FD＞BF+FD=BE+EF+FD＞BE+ED，即AB+AD＞BC+CD．

解答：證明：∵∠ABD＞∠CBD，∠ADB＞∠CDB，
∴如圖，過頂點B作∠EBD=∠CBD，BE=BC，連接ED，延長BE交AD于點F．
∵在△BCD與△BED中，

BE=BC ∠EBD=∠CBD BD=BD

，
∴△BCD≌△BED（SAS），
∴ED=CD，
∴AB+AD=AB+AF+FD＞BF+FD=BE+EF+FD＞BE+ED，即AB+AD＞BC+CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質、三角形的三邊關系．在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．