Question

12．拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0）B（3，0）兩點，與y軸交于C點，設拋物線頂點為D．
（1）求該拋物線的解析式及頂點D的坐標．
（2）畫出y=ax²+bx-3的圖象．
（3）以B、C、D為頂點的三角形是直角三角形嗎？為什么？

Answer 1

分析 （1）運用待定系數法求出拋物線的解析式、根據二次函數的性質求出頂點坐標；
（2）根據拋物線的解析式畫出函數圖象；
（3）根據坐標與圖形的關系和勾股定理分別求出△BCD的三邊長，根據勾股定理的逆定理判斷即可．

解答 解：（1）拋物線y=ax²+bx-3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點，
則$\left\{\begin{array}{l}{a-b-3=0}\\{9a+3b-3=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x-3，
y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴頂點D的坐標為：（1，-4）；
（2）y=x²-2x-3的圖象如圖：
（3）∵B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴BC=3$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{5}$，
則BC²+CD²=BD²，
∴△BCD是直角三角形．

點評 本題考查的是拋物線與x軸的交點、勾股定理的逆定理的應用以及二次函數的性質的應用，掌握待定系數法求函數解析式的一般步驟、理解二次函數的性質、能夠運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形是解題的關鍵．