Question

如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，分別過(guò)D，C作DE∥OC，CE∥OD．
（1）圖中有若干對(duì)相似三角形，請(qǐng)至少寫(xiě)出三對(duì)相似（不全等的）三角形，并選擇其中一對(duì)加以證明；
（2）求證：DM=

1

2

OB．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似，即可求得相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等；
（2）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得OB=OD，OA=OC，又由CE∥OD，可得OM=

1

2

CE，又由四邊形DOCE為平行四邊形，即可證得DM=

1

2

OB．

解答：（1）解：相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA等．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴△ABM∽△NDM，
∵CE∥OD，
∴△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE，
∴△ABM∽△NDM∽△NCE，
∵DE∥OC，
∴△EDM∽△AOM，△DNE∽△CNA，
∴△AOM∽△ACE∽△EDM；
∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE，△AOM∽△ACE∽△EDM，△DNE∽△CNA；

（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，OA=OC，
又∵CE∥OD，
∴AM=ME，
∴OM=

1

2

CE，
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四邊形DOCE為平行四邊形，
∴CE=OD，
∴OM=

1

2

OD=

1

2

OB．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與平行四邊形的判定與性質(zhì)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似性質(zhì)的應(yīng)用．