Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中有點B(－2，0)和y軸上的動點A(0，a)，其中a>0，以點A為直角頂點在第二象限內作等腰直角三角形ABC，設點C的坐標為(c，d)．

（1）當a=4時，則點C的坐標為( ， )；

（2）動點A在運動的過程中，試判斷c+d的值是否發生變化？若不變，請求出其值；若發生變化，請說明理由．

（3）當a=4時，在坐標平面內是否存在點P（不與點C重合），使△PAB與△ABC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）﹣4，6；（2）c+d=2的值不變，值為2；（3）（﹣6，2）或（4，2）或（2，﹣2）．

【解析】

（1）先過點C作CE⊥y軸于E，證△AEC≌△BOA，推出CE=OA=4，AE=BO=2，即可得出點C的坐標；

（2）先過點C作CE⊥y軸于E，證△AEC≌△BOA，推出CE=OA=a，AE=BO=2，可得OE=a+2，即可得出點C的坐標為（﹣a，a+2），據此可得c+d的值不變；

（3）分為三種情況討論，分別畫出符合條件的圖形，構造直角三角形，證出三角形全等，根據全等三角形對應邊相等即可得出答案．

（1）如圖1，過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA=∠AOB．

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BA，∠BAC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE，∴∠ACE=∠BAO．

在△ACE和△BAO中，∵，∴△ACE≌△BAO（AAS），∴BO=AE，AO=CE．

∵B（﹣2，0），A（0，4），∴BO=AE=2，AO=CE=4，∴OE=4+2=6，∴C（﹣4，6）．

故答案為：﹣4，6；

（2）動點A在運動的過程中，c+d=2的值不變，值為2．證明如下：

如圖1，過點C作CE⊥y軸于E，則∠CEA=∠AOB．

∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC=BA，∠BAC=90°，∴∠ACE+∠CAE=90°=∠BAO+∠CAE，∴∠ACE=∠BAO．

在△ACE和△BAO中，∵，∴△ACE≌△BAO（AAS），∴BO=AE，AO=CE．

∵B（﹣2，0），A（0，a），∴BO=AE=2，AO=CE=a，∴OE=2+a，∴C（﹣a，2+a）．

又∵點C的坐標為（c，d），∴c+d=﹣a+2+a=2，即c+d=2，值不變；

（3）存在一點P，使△PAB與△ABC全等，分為三種情況：

①如圖2，過P作PE⊥x軸于E，則∠PBA=∠AOB=∠PEB=90°，∴∠EPB+∠PBE=90°，∠PBE+∠ABO=90°，∴∠EPB=∠ABO．

在△PEB和△BOA中，∵，∴△PEB≌△BOA（AAS），∴PE=BO=2，EB=AO=4，∴OE=2+4=6，即P的坐標是（﹣6，2）；

②如圖3，過C作CM⊥x軸于M，過P作PE⊥x軸于E，則∠CMB=∠PEB=90°．

∵△CAB≌△PAB，∴∠PBA=∠CBA=45°，BC=BP，∴∠CBP=90°，∴∠MCB+∠CBM=90°，∠CBM+∠PBE=90°，∴∠MCB=∠PBE．

在△CMB和△BEP中，∵，∴△CMB≌△BEP（AAS），∴PE=BM，CM=BE．

∵C（﹣4，6），B（﹣2，0），∴PE=2，OE=BE﹣BO=6﹣2=4，即P的坐標是（4，2）；

③如圖4，過P作PE⊥x軸于E，則∠BEP=∠AOB=90°．

∵△CAB≌△PBA，∴AB=BP，∠CAB=∠ABP=90°，∴∠ABO+∠PBE=90°，∠PBE+∠BPE=90°，∴∠ABO=∠BPE．

在△BOA和△PEB中，∵，∴△BOA≌△PEB（AAS），∴PE=BO=2，BE=OA=4，∴OE=BE﹣BO=4﹣2=2，即P的坐標是（2，﹣2）．

綜合上述：符合條件的P的坐標是（﹣6，2）或（4，2）或（2，﹣2）．