Question

【題目】如圖，直角△ABC內接于⊙O，點D是直角△ABC斜邊AB上的一點，過點D作AB的垂線交AC于E，過點C作∠ECP=∠AED，CP交DE的延長線于點P，連結PO交⊙O于點F．

（1）求證：PC是⊙O的切線；

（2）若PC=3，PF=1，求AB的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）8．

【解析】

試題（1）連接OC，欲證明PC是⊙O的切線，只要證明PC⊥OC即可；

（2）延長PO交圓于G點，由切割線定理求出PG即可解決問題．

試題解析：（1）如圖，連接OC，∵PD⊥AB，∴∠ADE=90°，∵∠ECP=∠AED，又∵∠EAD=∠ACO，∴∠PCO=∠ECP+∠ACO=∠AED+∠EAD=90°，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O切線；

（2）延長PO交圓于G點，∵PF×PG=，PC=3，PF=1，∴PG=9，∴FG=9﹣1=8，∴AB=FG=8．