Question

如圖，已知直角△ACB，AC=1，BC=

3

，過直角頂點C作CA₁⊥AB，垂足為A₁，再過A₁作A₁C₁⊥BC，垂足為C₁；過C₁作C₁A₂⊥AB，垂足為A₂，再過A₂作A₂C₂⊥BC，垂足為C₂；…，這樣一直做下去，得到一組線段CA₁，A₁C₁，C₁A₂，…，則第12條線段A₆C₆=

 

．

Answer 1

分析：根據角的正弦函數與三角形邊的關系，可求出各邊的長，然后再總結出規律．

解答：解：根據勾股定理，在直角△ACB中得，AB=2，
∴sinA=

3

2

，
∴A₁C=1×

3

2

，
又∵A₁C₁⊥BC，CA₁⊥AB，
∴∠A₁CC₁=∠A，
∴在直角△A₁C₁C中，根據銳角三角函數得，
A₁C₁=1×(

3

2

)2，
以此類推，則A₆C₆=1×(

3

2

)12=(

3

2

)12．
故答案為(

3

2

)12．

點評：本題主要考查了勾股定理及相似三角形的判定與性質，考查了學生運用銳角三角函數表示未知的邊及分析歸納能力．