Question

3．如圖，反比例函數y=$\frac{k}{x}$與y=mx交于A、B兩點，已知點A的坐標是（4，2），點P是第一象限內反比例函數圖象上的動點，且在AB的上方．
（1）求k、m的值及B點的坐標；
（2）在x軸的 正半軸上是否存在點Q，使△ABQ為等腰三角形，若存在，請直接寫出點Q的坐標；
（3）若S_△ABP=12，求點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數法以及A、B關于原點對稱即可解決問題．
（2）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BM⊥y軸于M．分兩種情形討論即可①當AQ′=AB=4$\sqrt{5}$時，△ABQ是等腰三角形，②當BA=BQ時，△ABQ是等腰三角形．
（3）如圖2中，過點P作PM⊥x軸，交直線AB于點M．根據S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）將A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$得，k=8，
將A（4，2）代入y=mx得，m=$\frac{1}{2}$，
∵點A與點B關于原點中心對稱，
∴B（-4，-2），
∴k=8，m=$\frac{1}{2}$，B（-4，-2）．

（2）如圖1中，作AE⊥x軸于E，BM⊥y軸于M．

∵A（4，2）、B（-4，-2）
∴AB=4$\sqrt{5}$
當AQ′=AB=4$\sqrt{5}$時，△ABQ是等腰三角形，
∴Q′E=$\sqrt{A{Q}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{5}）^{2}-{2}^{2}}$=$\sqrt{76}$，
∴Q′（4+$\sqrt{76}$，0），
當BA=BQ時，△ABQ是等腰三角形，QM=$\sqrt{B{Q}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{76}$
Q（$\sqrt{76}$-4，0）．
綜上所述，滿足條件的點Q坐標為（4+$\sqrt{76}$，0）或（$\sqrt{76}$-4，0）．

（3）如圖2中，過點P作PM⊥x軸，交直線AB于點M．

設P（a，$\frac{8}{a}$），則M（a，$\frac{a}{2}$），
S_△ABP=$\frac{1}{2}$|x_A-x_B|•|y_P-y_M|=$\frac{1}{2}$×8×（$\frac{8}{a}$-$\frac{a}{2}$）=12
解得：a=-8（舍去）  a=2，
∴P（2，4）．

點評 本題考查反比例函數的圖象與性質、一次函數的應用、等腰三角形的判定、三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常壓軸題．