Question

如圖所示，⊙O的直徑EF為10cm，弦AB，CD分別為6cm和8cm，且AB∥EF∥CD，則圖中陰影部分的面積和為（　　）

• A、

  25

  2

  πcm²
• B、

  25

  3

  πcm²
• C、

  75

  8

  πcm²
• D、

  175

  12

  πcm²

Answer 1

分析：本題易得出△ABO與△ABE的面積相等，△OCD與△CDF的面積相等（這兩組三角形都是同底等高），因此陰影部分的面積為扇形OAB的面積和扇形OCD的面積和．直接求兩個扇形的面積由難度，因此可找出它們之間的關系再進行求解．
過O作圓的直徑MN，使得MN⊥EF與O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易證得∠GBO=∠COH（通過兩角的正弦值求證）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面積與扇形OCN的面積相等，也就得出了扇形OBF與扇形OAE的面積和正好等于扇形OCD的面積；因此陰影部分的面積和正好是半個圓的面積，由此可得出所求的解．

解答：解：如圖，作直徑MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；連接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF=

OH

OD

=

3

5

，sin∠BOF=

OG

OB

=

4

5

，sin∠COE=

OH

OC

=

3

5

，
sin∠AOE=

OG

OA

=

4

5

；即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF
因此S_扇形OAE=S_扇形OBF=S_扇形CON=S_扇形ODN；
∴S_陰影=S_△ABE+S_弓形AMB+S_△CDF+S_弓形CND
=S_△OAB+S_弓形AMB+S_△OCD+S_弓形CND
=S_扇形OAB+S_扇形OCN+S_扇形ODN
=S_扇形OAB+S_扇形OAE+S_扇形OBF
=

1

2

S_⊙O
=

25π

2

cm²．
故選A．

點評：本題考查學生的觀察能力及計算能力．本題中找出兩個陰影部分面積之間的聯系是解題的關系．