Question

19．已知點(diǎn)A，C在直線BD的同側(cè)，且AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，AB=6，CD=4，BD=14，現(xiàn)有點(diǎn)P在直線BD上，并且滿足△ABP與△CDP相似，則這樣的點(diǎn)P的個數(shù)為（　　）

• A． 3
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 設(shè)DP=x，根據(jù)已知可以分三種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時；②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)時；③當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的左側(cè)時；分別得出比例式得出方程，解方程求出x的值，即可得出結(jié)果．

解答 解：∵AB⊥DB，CD⊥DB，
∴∠D=∠B=90°，
設(shè)DP=x，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在線段BD上時，
當(dāng)PD：AB=CD：PB時，△PDC∽△ABP，
∴$\frac{x}{6}=\frac{x}{14-x}$，解得：DP=2或12，
當(dāng)PD：PB=CD：AB時，△PCD∽△PAB，
∴$\frac{x}{14-x}=\frac{4}{6}$，
解得：DP=5.6；
②當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的右側(cè)，如圖1所示：
當(dāng)$\frac{PD}{PB}=\frac{CD}{AB}$時，△PCD∽△PAB，
即$\frac{x}{x+14}=\frac{4}{6}$，
解得：x=28；
當(dāng)$\frac{PD}{AB}=\frac{CD}{PB}$時，△PCD∽△APB，
即$\frac{x}{6}=\frac{4}{x+14}$，
解得：x=-7±$\sqrt{73}$（負(fù)值舍去），
∴PD=-7+$\sqrt{73}$；
③當(dāng)點(diǎn)P在線段BD的左側(cè)時，如圖2所示：
當(dāng)$\frac{PB}{CD}=\frac{AB}{PD}$時，△PCD∽△APB，
即$\frac{x}{14-x}=\frac{6}{x}$，
解得：x=7±$\sqrt{73}$（負(fù)值舍去），
∴PD=7+$\sqrt{73}$；
綜上所述：當(dāng)DP=5.6或2或12或28或-7+$\sqrt{73}$或7+$\sqrt{73}$時，△ABP與△CDP相似，即這樣的點(diǎn)P的個數(shù)有6個；
故選：C．

點(diǎn)評 此題考查了相似三角形的判定方法；熟練掌握相似三角形的判定方法，分三種情況討論得出比例式是解決問題的關(guān)鍵．