Question

【題目】定義：有一個角是其鄰角一半的圓內接四邊形叫做圓內倍角四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD內接于⊙O，∠DCB﹣∠ADC=∠A，求證：四邊形ABCD為圓內接倍角四邊形；

（2）在（1）的條件下，⊙O半徑為5．

①若AD為直徑，且sinA=，求BC的長；

②若四邊形ABCD中有一個角為60°，且BC=CD，則四邊形ABCD的面積是　　；

（3）在（1）的條件下，記AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求證：d2﹣b2=ab+cd．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①BC＝6，②或；（3）見解析

【解析】

（1）先判斷出∠ADC=180°﹣2∠A．進而判斷出∠ABC=2∠A，即可得出結論；

（2）①先用銳角三角函數求出BD，進而得出AB，由（1）得出∠ADB=∠BDC，即可得出結論；

②分兩種情況：利用面積和差即可得出結論；

（3）先得出BE=BC=b，DE=DA=b，進而得出CE=d﹣c，再判斷出△EBC∽△EDA，即可得出結論．

（1）設∠A=α，則∠DCB=180°﹣α．

∵∠DCB﹣∠ADC=∠A，∴∠ADC=∠DCB﹣∠A=180°﹣α﹣α=180°﹣2α，∴∠ABC=180°﹣∠ADC=2α=2∠A，∴四邊形ABCD是⊙O內接倍角四邊形；

（2）①連接BD．

∵AD是⊙O的直徑，∴∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2×5=10，sin∠A=，∴BD=8，根據勾股定理得：AB=6，設∠A=α，∴∠ADB=90°﹣α．

由（1）知，∠ADC=180°﹣2α，∴∠BDC=90°﹣α，∴∠ADB=∠BDC，∴BC=AB=6；

②若∠ADC=60°時．

∵四邊形ABCD是圓內接倍角四邊形，∴∠BCD=120°或∠BAD=30°．

Ⅰ、當∠BCD=120°時，如圖3，連接OA，OB，OC，OD．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠OCD=∠OCB=∠BCD=60°，∴∠CDO=60°，∴AD是⊙O的直徑，（為了說明AD是直徑，點O沒有畫在AD上）

∴∠ADC+∠BCD=180°，∴BC∥AD，∴AB=CD．

∵BC=CD，∴AB=BC=CD，∴△OAB，△BOC，△COD是全等的等邊三角形，∴S四邊形ABCD=3S△AOB=3××52=．

Ⅱ、當∠BAD=30°時，如圖4，連接OA，OB，OC，OD．

∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠BCD=180°﹣∠BAD=150°．

∵BC=CD，∴∠BOC=∠COD，∴∠BCO=∠DCO=∠BCD=75°，∴∠BOC=∠DOC=30°，∴∠OBA=45°，∴∠AOB=90°．

連接AC，∴∠DAC=∠BAD=15°．

∵∠ADO=∠OAB﹣∠BAD=15°，∴∠DAC=∠ADO，∴OD∥AC，∴S△OAD=S△OCD．

過點C作CH⊥OB于H．

在Rt△OCH中，CH=OC=，∴S四邊形ABCD=S△COD+S△BOC+S△AOB﹣S△AOD=S△BOC+S△AOB=×5+×5×5=．

故答案為：或；

（3）延長DC，AB交于點E．

∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠BCE=∠A=∠ABC．

∵∠ABC=∠BCE+∠A，∴∠E=∠BCE=∠A，∴BE=BC=b，DE=DA=b，∴CE=d﹣c．

∵∠BCE=∠A，∠E=∠E，∴△EBC∽△EDA，∴，∴，∴d2﹣b2=ab+cd．