Question

設a，b為整數，且方程ax²+bx+1=0的兩個不同的正數根都小于1，求a的最小值．

Answer 1

設方程的兩根為x₁，x₂，
由x₁•x₂=

1

a

＞0，∴a＞0．
由題意有：△=b²-4ac=b²-4a＞0   ①
用函數的觀點看一元二次方程有：0＜-

b

2a

＜1  ②
a+b+1＞0     ③
由②③得：-（a+1）＜b＜0
由①得：b＜-2

a

．
∴-（a+1）＜b＜-2

a

．④
當a=1，2，3，4時，滿足④式的整數b不存在．
當a=5時，b=-5，這時方程是5x²-5x+1=0，兩根為x=

1

2

±

5

10

在0和1之間．
故a的最小值為5．