Question

設(shè)a，b為整數(shù)，且方程ax²+bx+1=0的兩個不同的正數(shù)根都小于1，求a的最小值．

Answer 1

分析：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，由兩根之積確定a大于0，然后由二次函數(shù)的思想得到0＜-

b

2a

＜1，a+b+1＞0，由判別式大于0得到a，b的關(guān)系，由a，b都是整數(shù)求出a的最小值．

解答：解：設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，
由x₁•x₂=

1

a

＞0，∴a＞0．
由題意有：△=b²-4ac=b²-4a＞0   ①
用函數(shù)的觀點看一元二次方程有：0＜-

b

2a

＜1  ②
a+b+1＞0     ③
由②③得：-（a+1）＜b＜0
由①得：b＜-2

a

．
∴-（a+1）＜b＜-2

a

．④
當a=1，2，3，4時，滿足④式的整數(shù)b不存在．
當a=5時，b=-5，這時方程是5x²-5x+1=0，兩根為x=

1

2

±

5

10

在0和1之間．
故a的最小值為5．

點評：本題考查的是一元二次方程根 與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次方程根的判別式，然后用函數(shù)的觀點看一元二次方程，得到關(guān)于a，b的不等式組，討論a，b的取值，確定a的最小值．