Question

設a，b為整數，且方程ax²+bx+1=0的兩個不同的正數根都小于1，求a的最小值．

Answer 1

解：設方程的兩根為x₁，x₂，
由x₁•x₂=＞0，∴a＞0．
由題意有：△=b²-4ac=b²-4a＞0 ①
用函數的觀點看一元二次方程有：0＜-＜1 ②
a+b+1＞0 ③
由②③得：-（a+1）＜b＜0
由①得：b＜-2．
∴-（a+1）＜b＜-2．④
當a=1，2，3，4時，滿足④式的整數b不存在．
當a=5時，b=-5，這時方程是5x²-5x+1=0，兩根為x=±在0和1之間．
故a的最小值為5．
分析：根據根與系數的關系，由兩根之積確定a大于0，然后由二次函數的思想得到0＜-＜1，a+b+1＞0，由判別式大于0得到a，b的關系，由a，b都是整數求出a的最小值．
點評：本題考查的是一元二次方程根 與系數的關系，結合一元二次方程根的判別式，然后用函數的觀點看一元二次方程，得到關于a，b的不等式組，討論a，b的取值，確定a的最小值．