Question

如圖：直線y=-

2

3

x+4m（常數m＞0）交x軸于A點、交y軸于B點，四邊形AOBC是以OA、OB為邊的梯形，OA∥BC．將梯形AOBC逆時針旋轉90°到A₁OB₁C₁，連接B₁C交y軸于D．（如圖）
（1）請指出A₁、B₁的坐標．（用含m的代數式表示）
（2）當A₁DB₁C₁為平行四邊形時，求C點的坐標．（用含m的代數式表示）
（3）若拋物線y=ax²+bx+c在（2）的條件下過A、B、C三點且與線段B₁C另一交點為E，連接A₁E，求：S_△A1DE：S_{四邊形AOBC}的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出x的值，得到點A的坐標，令x=0，求出y的值得到點B的坐標，再根據旋轉的性質即可得到點A₁、B₁的坐標；
（2）設BC=x，根據旋轉變換的性質可得B₁C₁=x，再根據平行四邊形的對邊相等可得A₁D=x，然后求出△BCD和△B₁OD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式用x表示出BD，再根據A₁D=A₁B+BD，代入數據得到關于x的方程，解方程即可得到點C的坐標；
（3）利用待定系數法求函數解析式，分別求出直線B₁C與拋物線的解析式，然后聯立求出點E的坐標，再根據三角形的面積公式求出△A₁DE的面積，利用梯形的面積公式求出四邊形AOBC的面積，然后相比即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則-

2

3

x+4m=0，解得x=6m，
令x=0，則y=4m，
所以，點A（6m，0），B（0，4m），
∵梯形AOBC逆時針旋轉90°到A₁OB₁C₁，
∴OA₁=0A=6m，OB₁=OB=4m，
∴A₁（0，6m），B₁（-4m，0）；

（2）設BC=x，根據旋轉的性質，B₁C₁=x，
∵四邊形A₁DB₁C₁為平行四邊形，
∴A₁D=B₁C₁=x，
∵OA∥BC，
∴△BCD∽△B₁OD，
∴

BC

OB1

=

BD

OD

，
即

x

4m

=

BD

6m-x

，
解得BD=

x(6m-x)

4m

，
又∵A₁D=A₁B+BD，
∴x=（6m-4m）+

x(6m-x)

4m

，
整理得，x²-2mx-8m²=0，
解得x₁=-2m，x₂=4m，
∵常數m＞0，
∴x=4m，
即BC=4m，
∴C點坐標為（4m，4m）；

（3）設直線B₁C解析式為y=kx+b，
∵B₁（-4m，0），C（4m，4m），
∴

-4mk+b=0 4mk+b=4m

，
解得

k= 1 2 b=2m

，
∴直線B₁C：y=

1

2

x+2m，
∵A（6m，0），B（0，4m），C（4m，4m），
∴

36m2a+6mb+c=0 c=4m 16m2a+4mb+c=4m

，
解得

a=- 1 3m b= 4 3 c=4m

，
∴拋物線解析式為y=-

1

3m

x²+

4

3

x+4m，
聯立

y= 1 2 x+2m y=- 1 3m x2+ 4 3 x=4m

，
解得

x1=- 3 2 m y1= 5 4 m

，

x2=4m y2=4m

（為點C坐標），
∴點E坐標為（-

3

2

m，

5

4

m），
∴S_△A1DE=

1

2

×4m•

3

2

m=3m²，S_{四邊形AOBC}=

1

2

（4m+6m）×4m=20m²，
∴S_△A1DE：S_{四邊形AOBC}=（3m²）：（20m²）=

3

20

．

點評：本題是二次函數的綜合題型，主要利用了直線與坐標軸的交點的求解，旋轉變換的性質，平行四邊形的對邊相等的性質，相似三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式（直線解析式與拋物線解析式），以及聯立兩函數解析式求交點坐標，綜合性較強，本題最大特點是計算過程始終含有常數字母m，使得運算變得較為復雜且容易出錯，計算時要仔細認真，避免出錯．