Question

如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6，AE=2

3

，求⊙O的半徑；
（3）在第（2）小題的條件下，則圖中陰影部分的面積為

 

．

Answer 1

分析：（1）首先由等腰三角形的性質，可得∠OAD=∠ODA，易證得DO∥MN，即可得DE⊥OD，即得DE是⊙O的切線；
（2）由勾股定理可求得AD的長，由相似三角形性質可求得AC的長，得到圓的半徑；
（3）根據陰影部分的面積等于扇形面積減去等邊三角形OAB的面積求解即可．

解答：解：（1）連接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAM，∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE，
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，
∴DE⊥OD，
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線；

（2）∵∠AED=90°，DE=6，AE=2

3

，
∴AD=

DE2+AE2

=

62+(2 3 )2

=4

3

，
連接CD，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴

AD

AE

=

AC

AD

，
∴

4 3

2 3

=

AC

4 3

，
∴AC=8

3

，
∴⊙O的半徑是4

3

；

（3）過點O作OF⊥AB于F，
∵cos∠DAE=

AE

AD

=

2 3

4 3

 =

1

2

，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAC=60°，
∴∠CAB=60°，
∴∠AOF=30°，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠CAB=

AF

OA

=

AF

4 3

=

1

2

，
∴AF=2

3

，
∴OF=6，
∴S_陰影=S_扇形-S_△OAB=8π-12

3

．

點評：此題考查了圓的切線的性質與判定，以及相似三角形的判定與性質和三角函數的性質．此題綜合型性比較強，解題時要注意數形結合思想的應用．