Question

如圖，直線y=-x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

(x＞0)上的一點，PM⊥x軸于M，交AB于E，PN⊥y軸于N，交AB于F．
（1）當點P的坐標為（

3

4

，

2

3

）時，求E、F兩點的坐標及△EOF的面積；
（2）用含a，b的代數式表示E、F兩點的坐標及△EOF的面積．

Answer 1

分析：（1）點E的橫坐標，點F的縱坐標分別為

3

4

、

2

3

，根據點E、F都在直線y=-x+1上，從而得出E、F兩點的坐標；△EOF的面積等于矩形OMPN的面積減去三個直角三角形的面積；
（2）用a、b代替（1）中的具體數字，從而可求得答案．

解答：解：（1）∵點E、F都在直線y=-x+1上，
∴y=-

3

4

+1=

1

4

，
∴E（

3

4

，

1

4

），
∴-x+1=

2

3

，
∴x=

1

3

，
∴F（

1

3

，

2

3

），
∴PE=

2

3

-

1

4

=

5

12

，PF=

3

4

-

1

3

=

5

12

，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=

3

4

×

2

3

-

2

3

×

1

3

×

1

2

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

5

12

×

5

12

，
=

5

24

；

（2）∵點E、F都在直線y=-x+1上，
∴y=-a+1=1-a，
∴E（a，1-a），
∴-x+1=b，
∴x=1-b，
∴F（1-b，b），
∴PE=b-1+a=a+b-1，PF=a-1+b=a+b-1，
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONF-S_△OME-S_△PEF，
=ab-

1

2

[b（1-b）+a（1-a）+（a+b-1）²]，
=

1

2a

+

1

2b

-

1

2

．

點評：本題是一道反比例函數的綜合題，考查了點的坐標的確定和三角形面積的求法，是中考壓軸題，難度較大．