Question

【題目】定義：點關于原點的對稱點為，以為邊作等邊，則稱點為的“等邊對稱點”；

（1）若，求點的“等邊對稱點”的坐標；

（2）若點是雙曲線上動點，當點的“等邊對稱點”點在第四象限時，

①如圖（1），請問點是否也會在某一函數圖象上運動？如果是，請求出此函數的解析式；如果不是，請說明理由；

②如圖（2），已知點，，點是線段上的動點，點在軸上，若以、、、這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點的縱坐標的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）①；②或

【解析】

（1）根據P點坐標得出P'的坐標，可求PP'=4；設C（m，n），有PC=P'C=24，通過解方程即可得出結論；

（2）①設P（c，），得出P'的坐標，利用連點間的距離公式可求的長，設C（s，t），有，然后通過解方程可得，再根據消元c即可得xy=-6；

②分AG為平行四邊形的邊和AG為平行四邊形的對角線兩種情況進行分類討論．

解：（1）∵P（1，），
∴P'（-1，-），
∴PP'=4，
設C（m，n），
∴等邊△PP′C，
∴PC=P'C=4，

解得n=或-，
∴m=-3或m=3．
如圖1，觀察點C位于第四象限，則C（，-3）．即點P的“等邊對稱點”的坐標是（，-3）．

（2）①設，∴，

∴，

設，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴或，

∴點在第四象限，，

∴，

令，

∴，即；

②已知，，則直線為，設點，設點，，即，，，構成平行四邊形，點在線段上，；

當為對角線時，平行四邊形對角坐標之和相等；

，，，即；

當為邊時，平行四邊形，

，，，即；

當為邊時，平行四邊形，

，，，而點在第三象限，，即此時點不存在；

綜上，或.