Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，AH⊥BC，垂足為D，點A為的中點，BF交AD于點E，且BE•EF=32，AD=6．
（1）求證：AE=BE；
（2）求DE的長；
（3）求BD的長．

Answer 1

（1）證明：連AF，AB，AC．因為A是的中點，
∴∠ABE=∠AFB．
又∠AFB=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB．
∵BC為直徑，
∴∠BAC=90°，AH⊥BC．
∴∠BAE=∠ACB．
∴∠ABE=∠BAE．
∴AE=BE．

（2）解：設DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，
則（6-x）（6+x）=32，
解得x=2，
即DE的長為2；

（3）解：由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，
在Rt△BDE中，BD==．
分析：（1）連接AF，根據圓周角定理求得；
（2）設DE=x（x＞0），由AD=6，BE•EF=32，AE•EH=BE•EF，可列式為（6-x）（6+x）=32，由此求解；
（3）由（1）、（2）有：BE=AE=6-2=4，根據Rt△BDE中的勾股定理求解．
點評：主要考查了相交弦定理，勾股定理，垂徑定理和圓周角定理的運用．牢固掌握該定理可在綜合題型中靈活運用．