Question

如圖，已知BC是⊙O的直徑，P是⊙O上一點，A是

BP

的中點，AD⊥BC于點D，BP與AD相交于點E．
（1）當BC=6且∠ABC=60°時，求

AB

的長；
（2）求證：AE=BE．
（3）過A點作AM∥BP，求證：AM是⊙O的切線．

Answer 1

分析：（1）首先連接OA，AB，由BC是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，即可得△ABC是直角三角形，又由BC=6，∠ABC=60°，即可求得⊙O的半徑OB的長，繼而求得

AB

的長；
（2）由A是

BP

的中點，即可求得

BA

=

AP

，又由在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等，即可得∠ABP=∠ACB，又由∠BAC=90°，AD⊥BC，易證得∠BAD=∠C，則問題得證；
（3）由A是

BP

的中點，由垂徑定理的知識，即可求得OA⊥BP，又由AM∥BP，即可證得AM是⊙O的切線．

解答：（本題滿分6分）
（1）解：連接OA，AB，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵∠ABC=60°，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OB=

1

2

BC=

1

2

×6=3，
∴AB弧的長為：l=

2πR

6

=

2×π×3

6

=π；

（2）證明：∵點A是

BP

的中點，
∴

BA

=

AP

，
∴∠C=∠ABP．
∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
即∠BAD+∠CAD=90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∴∠ABP=∠BAD，
∴AE=BE；

（3）證明：∵A是

BP

的中點，
∴AO⊥BP，
∵AM∥BP，
∴AM⊥AO，
即AM是⊙O的切線．

點評：此題考查了圓的切線的判定，垂徑定理，圓周角的性質以及直角三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用．