Question

10．把一個自然數所有數位上的數字先平方再求和得到一個新數，叫做第一次運算，再把所得新數所有數位上的數字先平方再求和又將得到一個新數，叫做第二次運算，…如此重復下去，若最終結果為1，我們把具有這種特征的自然數稱為“快樂數”，例如：
23→2²+3²=13→1²+3²=10→1²+0²=1
91→9²+1²=82→8²+2²=68→6²+8²=100→1²+0²+0²=1．
所以23和91都是“快樂數”．
（1）13是（填“是”或“不是”）“快樂數”；最小的三位“快樂數”是100；
（2）若一個兩位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，求出這個“快樂數”；
（3）請證明任意一個“快樂數”經過若干次運算后都不可能得到16．

Answer 1

分析 （1）由13經過兩次運算后結果為1可得出13是“快樂數”，再由100經過一次運算后結果為1結合100為最小的三位數即可得出最小的三位“快樂數”是100；
（2）由一個兩位“快樂數”經過兩次運算后結果為1可得出該“快樂數”經過一次運算后結果為10或100，將10和100拆分成兩個平方數相加的格式即可得出結論；
（3）通過運算可找出16不是“快樂數”，結合“快樂數”在經過若干次運算后仍為“快樂數”即可證出結論．

解答 解：（1）∵13→1²+3²=10→1²+0²=1，
∴13是“快樂數”．
∵100→1²+0²+0²=1，且100是最小的三位數，
∴最小的三位“快樂數”是100．
故答案為：是；100．
（2）∵一個兩位“快樂數”經過兩次運算后結果為1，
∴該兩位數經過一次運算為10或100，
∵10=1+9=1²+3²，100=64+36=8²+6²，
∴這個“快樂數”為13、31、68或86．
（3）∵16→1²+6²=37→3²+7²=58→5²+8²=89→8²+9²=145→1²+4²+5²=42→4²+2²=20→2²+0²=4→4²=16，
∴16不是“快樂數”．
∵任意一個“快樂數”經過若干次運算后得到的數都是“快樂數”，
∴任意一個“快樂數”經過若干次運算后都不可能得到16．

點評 本題考查了因式分解的應用，讀懂題意弄清“快樂數”的判定是解題的關鍵．