Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸x=1交x軸于點B．連接EC，AC．點P，Q為動點，設運動時間為t秒．

（1）填空：點A坐標為　 　；拋物線的解析式為　 　．

（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位/秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向點E以2個單位/秒的速度運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動．當t為何值時，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位/秒的速度運動，過點P做PF⊥AB，交AC于點F，過點F作FG⊥AD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ．當t為何值時，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

　

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，

∴點A坐標為（1，4），

設拋物線的解析式為y=a（x﹣1）²+4，

把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）²+4=0，

解得a=﹣1．

故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）²+4，即y=﹣x²+2x+3；

（2）依題意有：OC=3，OE=4，

∴CE===5，

當∠QPC=90°時，

∵cos∠QPC==，

∴=，

解得t=；

當∠PQC=90°時，

∵cos∠QCP==，

∴=，

解得t=．

∴當t=或t=時，△PCQ為直角三角形；

（3）∵A（1，4），C（3，0），

設直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+，

∴Q點的橫坐標為1+，

將x=1+代入y=﹣（x﹣1）²+4中，得y=4﹣．

∴Q點的縱坐標為4﹣，

∴QF=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣，

∴S_△ACQ=S_△AFQ+S_△CPQ

=FQ•AG+FQ•DG

=FQ（AG+DG）

=FQ•AD

=×2（t﹣）

=﹣（t﹣2）²+1，

∴當t=2時，△ACQ的面積最大，最大值是1．

故答案為：（1，4），y=﹣（x﹣1）²+4．