Question

已知，如圖，矩形ABCD中，E是CD的中點，連接BE并延長BE交AD的延長線于點F，連接AE．

（1）求證：AD=DF；

（2）若AD=3，AE⊥BE，求AB的長．

Answer 1

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據E是CD的中點，BC∥AF可確定EF=EB，從而得出△EBC≌△EFD，繼而得出結論．

（2）由（1）得出的EF=EB，結合AE⊥BE可得AB=AF，從而根據AD=3可得出答案．

【解答】解：（1）∵BC∥AF，E是CD的中點，

∴E是線段FB的中點，

∴FE=EB，

又∠FED=∠BEC，DE=EC，

∴△EBC≌△EFD，

∴AD=DF．

 

（2）由（1）得：EF=EB，

又AE⊥BE，

∴AB=AF（中垂線的性質）

∴AB=AF=2AD=6．

【點評】本題考查了矩形的性質及勾股定理的知識，有一定的難度，解答本題的關鍵是根據題意得出E是FB的中點，這是本題的突破口．