Question

如圖，已知拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2圖象與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側）．若C（m，1-m）是拋物線上位于第四象限內的點，D是線段AB上的一個動點（不與A，B重合），過點D分別作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
（1）求點A和點B的坐標；
（2）求證：四邊形DECF是矩形；
（3）連接EF，線段EF的長是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據拋物線的解析式來求點A、B的坐標即可；
（2）欲證明四邊形DECF是矩形，只需證得四邊形DECF是平行四邊形且有一內角為直角即可；
（3）連接CD．根據矩形DECF的對角線相等得到：EF=CD．當CD⊥AB時，CD的值最小，即EF的值最小．

解答： 解：（1）當y=0時，

1

2

x²-

3

2

x-2=0，
解方程，得 x₁=-1，x₂=4．
∵點A在點B的左側，
∴點A、B的坐標分別是（-1，0），（4，0）；

（2）證明：把C（m，1-m）代入y=

1

2

x²-

3

2

x-2得

1

2

m²-

3

2

m-2=1-m，
解方程，得m=3或m=-2．
∵點C位于第四象限，
∴m＞0，1-m＜0，即m＞1，
∴m=-2舍去，
∴m=3，
∴點C的坐標為（3，-2）．
過點C作CH⊥AB于H，則∠AHC=∠BHC=90°．
由A（-1，0），B（4，0），C（3，-2）得到：AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，
∴

AH

CH

=

CH

BH

=2．
又∵∠AHC=∠CHB=90°，
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH．
∵∠CBH+∠BCH=90°，
∴∠ACH+∠BCH=90°，
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四邊形DECF是平行四邊形，
∴平行四邊形DECF是矩形；

（3）存在．理由如下：
連接CD．
∵平行四邊形DECF是矩形，
∴EF=CD．
當CD⊥AB時，CD的值最小．
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2．

點評：本題考查了二次函數綜合題．將函數知識與方程、幾何知識有機地結合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關鍵是善于將函數問題轉化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關性質、定理和二次函數的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．