Question

已知：如圖1，在面積為3的正方形ABCD中，E、F分別是BC和CD邊上的兩點，AE⊥BF于點G，且BE=1．

（1）求出△ABE和△BCF重疊部分（即△BEG）的面積；

（2）現將△ABE繞點A逆時針方向旋轉到△AB′E′（如圖2），使點E落在CD邊上的點E′處，問△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積是否發生了變化？請說明理由．

Answer 1

（1）（2）沒有變化

【解析】

試題分析：（1）先根據正方形的面積證出邊長，然后根據相似三角形的判定得證△BGE∽△ABE，進而得出相似比和面積比，再根據勾股定理求得AE的長，求得△ABE的面積，根據面積的比求出△BGE的面積；

先根據正方形的面積求得邊長，再由BE與AB的長求得∠BAE=30°，再根據據旋轉變換的

∠B′AE′=30°，然后根據全等三角形判定SAS得出Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，因此∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，且AE與AB′在同一直線上，然后根據ASA得證△BAG≌△HAG，從而得證結果.

試題解析：（1）【解析】
∵正方形面積為3，

∴AB=

在△BGE與△ABE中，

∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，

∴△BGE∽△ABE

∴

又∵BE=1，

∴AE2=AB2+BE2=3+1=4

∴

【解析】
沒有變化。理由如下：

∵AB=，BE=1，

∴

∴∠BAE=30°

∵AB′=AD，∠AB′E′=∠ADE'=90°，AE′= AE′，

∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，

∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°

∴AB′與AE在同一直線上，即BF與AB′的交點是G

設BF與AE′的交點為H，

則∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG= AG，

∴△BAG≌△HAG。

∴

∴△ABE在旋轉前后與△BCF重疊部分的面積沒有變化

考點：相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，三角形的面積