Question

10．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過點A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F，Q為斜邊AB的中點．
（1）當點P與點Q重合時，如圖1，寫出QE與QF的數量關系，不證明；
（2）當點P在線段AB上且不與點Q重合時，如圖2，（1）的結論是否成立？并證明；
（3）當點P在線段BA（或AB）的延長線上時，如圖3，此時（1）的結論是否成立？請畫出圖形并給予證明．

Answer 1

分析 （1）證△BFQ≌△AEQ即可；
（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可；
（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據直角三角形斜邊上中線性質求出即可

解答 解：（1）QE=QF，
理由是：如圖1，∵Q為AB中點，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴∠BFQ=∠AEQ=90°，
在△BFQ和△AEQ中$\left\{\begin{array}{l}{∠BFQ=∠AEQ}\\{∠BQF=∠AQE}\\{BQ-AQ}\end{array}\right.$
∴△BFQ≌△AEQ（AAS），
∴QE=QF，

（2）（1）中的結論仍然成立，
證明：如圖2，延長FQ交AE于D，
∵Q為AB中點，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠QAD=∠FBQ，
在△FBQ和△DAQ中，$\left\{\begin{array}{l}{∠FBQ=∠DAQ}\\{BQ=AQ}\\{∠BQF=∠AQD}\end{array}\right.$，
∴△FBQ≌△DAQ（ASA），
∴QF=QD，
∵AE⊥CP，
∴EQ是Rt△DEF斜邊上的中線，
∴QE=QF=QD，
即QE=QF．

（3）（1）中的結論仍然成立，
證明：如圖3，
延長EQ、FB交于D，
∵Q為AB中點，
∴AQ=BQ，
∵BF⊥CP，AE⊥CP，
∴BF∥AE，
∴∠1=∠D，
在△AQE和△BQD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠D}\\{∠2=∠3}\\{AQ=BQ}\end{array}\right.$，
∴△AQE≌△BQD（AAS），
∴QE=QD，
∵BF⊥CP，
∴FQ是Rt△DEF斜邊DE上的中線，
∴QE=QF．

點評 此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質和判定，直角三角形斜邊上中線性質的應用，判斷三角形全等是解本題的關鍵．