Question

2．已知：如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點C在以D（-3，-3）為圓心，6為半徑的圓上，且經過⊙D與x軸的兩個交點A、B，連結AC、BC、OC．
（1）求點C的坐標和拋物線的解析式
（2）求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

分析 （1）連結CD并延長交AB于點E，連接BD．結合已知條件得到$B（3\sqrt{3}-3，0）$，拋物線頂點C（-3，-9），故設二次函數解析式y=a（x+3）²-9，把點B的坐標代入求得a的值即可得到拋物線的解析式；
（2）作DF⊥AC，垂足為點F，連接AD．構建含30度角的Rt△ADE，由此求得∠ADC=120°．所以S_陰影=S_扇形ADC-S_△ADC．

解答 解：（1）連結CD并延長交AB于點E，連接BD．
由拋物線的對稱性可知CD⊥AB，CE=DE+CD=9，
∴C（-3，-9）．
在△BDE中，DE=3，BD=6，由勾股定理可求BE=3$\sqrt{3}$，
∴$B（3\sqrt{3}-3，0）$，拋物線頂點C（-3，-9）
∴設二次函數解析式y=a（x+3）²-9，
∴27a-9=0，
∴a=$\frac{1}{3}$；

（2）作DF⊥AC，垂足為點F，連接AD．
在Rt△ADE中，∵DE=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠EAD=30°，
∴∠ADE=60°，
∴∠ADC=120°．
由勾股定理可得AF=$3\sqrt{3}$，
∴S_△ADC=$\frac{1}{2}AC•DF$=$9\sqrt{3}$．
∵S_扇形ADC=$\frac{120}{360}π•{6^2}=12π$，
∴S_陰影=12π-$9\sqrt{3}$．

點評 本題考查了二次函數綜合題．解題時，要掌握待定系數法求二次函數解析式，勾股定理，點的坐標與圖形的性質，三角形的面積以及扇形面積的計算．利用待定系數法求二次函數解析式時，要根據題中已知條件來設拋物線解析式的形式：
①一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）；
 ②頂點式：y=a（x-h）²+k（a，h，k是常數，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；
 ③交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數，a≠0）．