Question

使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數，                

令y＝0，可得x＝1，我們就說1是函數的零點．己知函數                       (m為常數)．

  （1）當＝0時，求該函數的零點；

（2）證明：無論取何值，該函數總有兩個零點；

（3）如圖，設函數的兩個零點分別為和，且，此時函數圖象與x軸的交點分別為A、B(點A在點B左側)，點M在直線上，當MA＋MB最小時，求直線AM的函數解析式．

Answer 1

1）當＝0時，該函數為y＝x²－6，令y＝0，得x²－6＝0，解得x₁＝，x₂＝，故該函數的零點為和．

（2）令y＝0，得△＝

∴無論取何值，方程總有兩個不相等的實數根．即無論取何值，該函數總有兩個零點．

（3）依題意有，

由，得，

解得．

∴函數的解析式為．

令y＝0，解得

∴A()，B(4,0)

作點B關于直線的對稱點B′，連結AB′，則AB′與直線的交點就是滿足條件的M點．

易求得直線與x軸、y軸的交點分別為C（10，0），D（0，10）．

連結CB′，則∠BCD＝45°

∴BC＝CB′＝6，∠B′CD＝∠BCD＝45°

∴∠BCB′＝90°，即B′（）

設直線AB′的解析式為，則

，解得

∴直線AB′的解析式為，即AM的解析式為．