Question

11．如圖，已知△ABD是一張直角三角形紙片，其中∠A=90°，∠ADB=30°，小亮將它繞點A逆時針旋轉β（0＜β＜180°）后得到△AMF，AM交直線BD于點K．
（1）當β=90°時，利用尺規在圖中作出旋轉后的△AMF，并直接寫出直線BD與線段MF的位置關系；
（2）求△ADK為等腰三角形時β的度數．

Answer 1

分析 （1）在AB的延長線上截取AM=AD，在DA的延長線上截取AF=AB，連結FM得到△AMF，根據旋轉的性質可判斷直線BD與線段MF垂直；
（2）根據旋轉的性質得∠MAD=β，分類討論：當KA=KD時，根據等腰三角形的性質得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；當DK=DA時，根據等腰三角形的性質得∠DKA=∠DAK，然后根據三角形內角和可計算出∠DAK=75°，即β=75°；當AK=AD時，根據等腰三角形的性質得∠AKD=∠D=30°，然后根據三角形內角和可計算出∠KAD=120°，即β=120°．

解答 解：（1）如圖，△AMF為所作，
因為△ADB繞點A逆時針旋轉90°后得到△AMF，
所以BD旋轉90°得到MF，
所以BD⊥MF；

（2）∵△ABD繞點A逆時針旋轉β（0＜β＜180°）后得到△AMF，
∴∠MAD=β，
當KA=KD時，則∠KAD=∠D=30°，即β=30°；
當DK=DA時，則∠DKA=∠DAK，而∠D=30°，所以∠DAK=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，即β=75°；
當AK=AD時，則∠AKD=∠D=30°，則∠KAD=180°-30°-30°=120°，即β=120°，
綜上所述，β的度數為30°或75°或120°．

點評 本題考查了作圖-旋轉變換：根據旋轉的性質可知，對應角都相等都等于旋轉角，對應線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應點，順次連接得出旋轉后的圖形．應用分類討論思想和等腰三角形的性質是解決第（2）問的關鍵．